Δυο παιδιά περπατούν

 

Δυο παιδιά, ο Άγγελος (Α) και ο Βαλέριος (Β), κινούνται σε έναν ευθύγραμμο δρόμο και σε μια στιγμή t₀=0 περνούν από ένα σημείο Ο, το οποίο λαμβάνουμε ως αρχή ενός προσανατολισμένου άξονα x (x_O=0), με θετική φορά προς τα δεξιά. Στο διπλανό διάγραμμα βλέπουμε πώς μεταβάλλεται η ταχύτητα καθενός παιδιού, σε συνάρτηση με το χρόνο.)

i)  Να βρεθούν οι θέσεις των δύο παιδιών και η  απόσταση μεταξύ τους  τη χρονική στιγμή t₁=10s.

ii)  Ποια χρονική στιγμή t₂ η ταχύτητα του Βαλέριου είναι ίση με υ₂=+0,4s; Ποια η απόσταση μεταξύ των δύο παιδιών τη στιγμή αυτή;

iii) Αφού βρείτε (και δικαιολογήσετε) ποια χρονική στιγμή τα δυο παιδιά απέχουν την μεγαλύτερη απόσταση μεταξύ τους, να υπολογιστεί η  μέγιστη αυτή απόσταση.

iv) Να βρείτε μια συνάρτηση d=f(t) που δίνει την απόσταση των δύο παιδιών σε συνάρτηση με το χρόνο και να κάνετε  τη γραφική της παράσταση, στο χρονικό διάστημα από 0-25s.

Απάντηση:

ή

 Δυο παιδιά περπατούν

 Δυο παιδιά περπατούν

Μερικές εισαγωγικές ερωτήσεις στα κύματα

 Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και από τα αριστερά προς τα δεξιά διαδίδεται ένα αρμονικό κύμα και στο σχήμα βλέπουμε τη μορφή του μέσου μια χρονική στιγμή t₁.

 

α) Για την παραπάνω χρονική  στιγμή t₁:

i) Η ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου Β, είναι προς τα δεξιά.

ii) Η φάση της απομάκρυνσης του σημείου Γ είναι ίση με π (rad).

iii) Το σημείο Δ έχει μηδενική ταχύτητα και μέγιστη επιτάχυνση.

iv) Αν η ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου Γ, έχει το ίδιο μέτρο με την ταχύτητα του κύματος, τότε η απόσταση (ΟΓ) και το πλάτος του κύματος συνδέονται με τη σχέση (ΟΓ)=πΑ.

v) Το κύμα έφτασε στην αρχή του άξονα Ο, τη χρονική στιγμή t₂=t₁-T, όπου Τ η περίοδος ταλάντωσης του σημείου Ο.

vi) Τη χρονική στιγμή που το σημείο Ο έχει φάση απομάκρυνσης φ=5π (rad), το σημείο Β έχει εκτελέσει 1,5 ταλάντωση.

Να χαρακτηρίσετε ως σωστές ή λανθασμένες τις παραπάνω προτάσεις, δίνοντας και σύντομες δικαιολογήσεις.

β) Να σχεδιάσετε την μορφή του μέσου τη χρονική στιγμή t₃=t₁+T/8. Στην εικόνα να φαίνονται και οι θέσεις των  σημείων Β, Γ, Δ και Ο.

Απάντηση:

ή

Μερικές εισαγωγικές ερωτήσεις στα κύματα

Μερικές εισαγωγικές ερωτήσεις στα κύματα

Η ορμή και η κάθετη αντίδραση του επιπέδου

 

Μια μικρή σφαίρα Α μάζας m αφήνεται να πέσει από ορισμένο ύψος και φτάνοντας στο έδαφος με ταχύτητα μέτρου υ₀ συγκρούεται πλαστικά, με ένα δεύτερο  σώμα Β, μάζας Μ=3m, το οποίο κινείται οριζόντια με σταθερή ταχύτητα μέτρου επίσης υ_ο. Το σώμα Β δεν εμφανίζει τριβές με το επίπεδο και μετά την κρούση το συσσωμάτωμα κινείται οριζόντια με ταχύτητα μέτρου u, όπως στο σχήμα.

i) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές ή λανθασμένες.

α) Στη διάρκεια της κρούσης η ορμή της σφαίρας Α διατηρείται.

β) Στη διάρκεια της κρούσης η ορμή του σώματος Β διατηρείται.

γ) Στη διάρκεια της κρούσης η ορμή του συστήματος (σφαίρα Α-σώμα Β), διατηρείται.

δ) Η μεταβολή της ορμής του σώματος Β είναι οριζόντια.

ε) Η δύναμη F₁ που ασκεί η σφαίρα Α στο σώμα Β, στη διάρκεια της κρούσης είναι κατακόρυφη.

ii) Αφού σχεδιάσετε τις δυνάμεις που ασκούνται σε κάθε σώμα του συστήματος των δύο σωμάτων Α-Β, στη διάρκεια της κρούσης, κάνετε τις αντιστοιχίσεις για το μέτρο της κάθετης αντίδρασης που το επίπεδο  ασκεί  στο σώμα Β, στα διάφορα χρονικά διαστήματα:

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις  σας.

Απάντηση:

ή

Η ορμή και η κάθετη αντίδραση του επιπέδου 

Η ορμή και η κάθετη αντίδραση του επιπέδου

..

Μια ανάκλαση κύματος σε τοίχο

 Κατά μήκος ενός ελαστικού νήματος, το ένα άκρο του οποίου είναι δεμένο σε τοίχο, διαδίδεται ένας παλμός, όπως στο σχήμα, τον οποίο προσεγγίζουμε με ημιτονοειδή καμπύλη.

i)  Ποιο από τα παρακάτω σχήματα δείχνει τη μορφή του νήματος, τη στιγμή που το σημείο Γ φτάνει στον τοίχο;

ii) Ποιο από τα παρακάτω σχήματα δείχνει τη μορφή του νήματος, τη στιγμή που το σημείο B φτάνει στον τοίχο;

 

ii)  Ποιο από τα παρακάτω σχήματα δείχνει τη μορφή του νήματος, τη στιγμή που το σημείο Α φτάνει στον τοίχο;

 

Να δώσετε σύντομες δικαιολογήσεις για τις επιλογές σας.

Απάντηση:

ή

 Μια ανάκλαση κύματος σε τοίχο

Μια ανάκλαση κύματος σε τοίχο

https://ibb.co/L9fpxry

edv

Μια συμβολή δύο ημιτονοειδών παλμών

 Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου διαδίδονται αντίθετα δυο ημιτονοειδείς παλμοί με το ίδιο πλάτος Α και το ίδιο μήκος κύματος λ. Σε μια στιγμή t₀=0 οι παλμοί φτάνουν στα σημεία Γ και Δ, όπου  (ΓΔ)=λ/2, όπως στο σχήμα. 

 

Τη στιγμή αυτή το σημείο Β έχει ταχύτητα ταλάντωσης μέτρου u.

i)  Να σχεδιάσετε πάνω στο σχήμα τις ταχύτητες ταλάντωσης των σημείων Β και Γ και Δ. Ποια τα μέτρα των ταχυτήτων ταλάντωσης των σημείων Γ και Δ;

ii)   Αν οι δύο παλμοί συναντηθούν στο σημείο Μ τη στιγμή t₁:

α) Να σχεδιάσετε τη μορφή του μέσου τη στιγμή αυτή.

β)  Ποιες οι ταχύτητες ταλάντωσης των σημείων Β, Γ, Μ και Δ  την στιγμή αυτή;

iii)  Σε μια στιγμή το 1^ο κύμα φτάνει στο σημείο Δ. Για τη στιγμή αυτή:

α) Να σχεδιάσετε τη μορφή του μέσου.

β)  Ποιες οι ταχύτητες ταλάντωσης των σημείων Β, Γ, Μ και Δ;

Απάντηση:

ή

 Μια συμβολή δύο ημιτονοειδών παλμών

 Μια συμβολή δύο ημιτονοειδών παλμών

Δυο εξισώσεις δύο αρμονικών κυμάτων

Κατά μήκος δύο γραμμικών ελαστικών μέσων και από αριστερά προς τα δεξιά (θετική κατεύθυνση) διαδίδονται δύο αρμονικά κύματα με το ίδιο πλάτος Α και την ίδια ταχύτητα διάδοσης u. Τη στιγμή t₀=0, το πρώτο κύμα (Ι) φτάνει στο σημείο Κ, ενώ το δεύτερο (ΙΙ) στο σημείο Ο, στη θέση x=0, όπως παρουσιάζονται στο παραπάνω σχήμα.

i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση κύματος y=f(x,t) για το πρώτο κύμα παίρνει τη μορφή:

ii) Ποια η εξίσωση της απομάκρυνσης y=f(t) του σημείου Ο, στη θέση x=0, λόγω του κύματος (Ι) και ποια η αντίστοιχη εξίσωση λόγω του κύματος (ΙΙ);

iii) Να αποδειχθεί ότι και το δεύτερο κύμα (ΙΙ), έχει την ίδια εξίσωση κύματος (1),  με το κύμα (Ι).

iv) Να σχεδιάσετε ένα ποιοτικό διάγραμμα για το στιγμιότυπο του κύματος (ΙΙ), τη στιγμή που φτάνει στο σημείο Κ.

Απάντηση:

ή

 Δυο εξισώσεις δύο αρμονικών κυμάτων

 Δυο εξισώσεις δύο αρμονικών κυμάτων

 

Από ένα στιγμιότυπο κύματος

 Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και από αριστερά προς τα δεξιά (θετική κατεύθυνση) διαδίδεται ένα εγκάρσιο αρμονικό κύμα, το οποίο τη στιγμή t₀=0 φτάνει στην αρχή Ο, ενός συστήματος αξόνων x,y. Στο σχήμα βλέπουμε ένα στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t₁=0,9s, όπου το σημείο Ο βρίσκεται στην μέγιστη θετική απομάκρυνσή του y_Ο=+0,2m.

i) Να βρεθούν το μήκος κύματος, η περίοδος και η ταχύτητα του κύματος.

ii) Ποια η εξίσωση του κύματος;

iii) Ένα σημείο Κ βρίσκεται στη θέση x_K=4/3m.

α) Να βρεθεί η απομάκρυνση, η ταχύτητα και η επιτάχυνση του σημείου Κ, τη στιγμή t₁.

β) Να βρεθεί η απομάκρυνση το σημείου Κ, από τη θέση ισορροπίας του, τις χρονικές στιγμές:

a)  t₂=0,6s   και b)   t₃=29/30s.

Απάντηση:

ή

  Από ένα στιγμιότυπο κύματος

Από ένα στιγμιότυπο κύματος

Δύο διαφορετικές ταλαντώσεις

 

Ένα σώμα Σ είναι δεμένο στο άκρο ιδανικού ελατηρίου, εκτελώντας ΑΑΤ με εξίσωση απομάκρυνσης x=0,2∙ημ(6t)  (μονάδες στο S.Ι.), σε λείο οριζόντιο επίπεδο, γύρω από τη θέση Ο, θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου.

 Το ίδιο σύστημα τίθεται σε εξαναγκασμένη ταλάντωση, με την επίδραση εξωτερικής περιοδικής δύναμης F, ενώ ταυτόχρονα δέχεται από το περιβάλλον του και δύναμη απόσβεσης της μορφής F_απ=-bυ. Μετά την αποκατάσταση σταθερού πλάτους ταλάντωσης, γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας Ο, λαμβάνοντας κάποια στιγμή ως αρχή μέτρησης του χρόνου, παίρνουμε την εξίσωση x=0,2∙ημ(5t)  (S.Ι.), για την απομάκρυνση του σώματος.

Για μια θέση με απομάκρυνση x, όπου το σώμα κινείται προς τα δεξιά, όπως στο σχήμα:

i) Αν υ₁ η ταχύτητα στην περίπτωση της ΑΑΤ και υ₂ η ταχύτητα στην εξαναγκασμένη ταλάντωση, ισχύει:

α) υ₁ < υ₂,    β) υ₁ = υ₂,     γ) υ₁ > υ₂.

ii)  Αν α₁ και α₂ οι αντίστοιχες επιταχύνσεις, τότε:

α) α₁ < α₂,    β) α₁ = α₂,     γ) α₁ > α₂.

iii) Σε ποια περίπτωση η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης είναι μεγαλύτερη; Στην ΑΑΤ ή στην εξαναγκα-σμένη ταλάντωση, για την ίδια απομάκρυνση x;

Αν dU1/dt =λ και dU2/dt=μ οι αντίστοιχοι ρυθμοί μεταβολής της δυναμικής ενέργειας, ισχύει:

α) λ < μ,    β) λ = μ,     γ) λ > μ.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

 Δύο διαφορετικές ταλαντώσεις

 Δύο διαφορετικές ταλαντώσεις

Μέχρι να ολοκληρωθεί η είσοδος.

 

Ένα ορθογώνιο μεταλλικό πλαίσιο ΑΓΔΖ, με πλευρές α =0,4m και 2α, είναι κατασκευασμένο από ομογενές και ισοπαχές σύρμα, παρουσιάζοντας αντίσταση R=1,2Ω. Τα μέσα Μ και Ν των πλευρών ΖΑ και ΔΓ συνδέονται με ένα άλλο ευθύγραμμο σύρμα, το οποίο δεν εμφανίζει αντίσταση. Το πλαίσιο σύρεται σε λείο μονωτικό οριζόντιο επίπεδο και τη  στιγμή t=0, αρχίζει να εισέρχεται σε ένα κατακόρυφο ομογενές μαγνητικό πεδίο έντασης Β=1,5Τ, όπως στο σχήμα, ενώ με την επίδραση μιας οριζόντιας δύναμης F, εξασφαλίζεται σταθερή ταχύτητα εισόδου υ=2m/s.

i) Για τη χρονική στιγμή t₁=0,1s να βρεθούν:

α) Η ένταση του ρεύματος που διαρρέει την πλευρά ΑΓ, καθώς και η τάση στα άκρα της.

β) Η δύναμη Laplace που ασκείται σε κάθε πλευρά του πλαισίου.

γ) Η ισχύς της εξωτερικής δύναμης F, η οποία εξασφαλίζει την είσοδο του πλαισίου.

ii) Ποιες οι αντίστοιχες απαντήσεις για την χρονική στιγμή t₂=0,3s.

Απάντηση:

ή

 Μέχρι να ολοκληρωθεί η είσοδος.

 Μέχρι να ολοκληρωθεί η είσοδος.

 Μέχρι να ολοκληρωθεί η είσοδος.

 Μέχρι να ολοκληρωθεί η είσοδος.

Οι τάσεις σε δύο πλευρές πλαισίου.

  

Ένα ορθογώνιο μεταλλικό πλαίσιο ΑΓΔΖ, σύρεται σε λείο μονωτικό οριζόντιο επίπεδο και τη  στιγμή t=0, αρχίζει να εισέρχεται σε ένα κατακόρυφο ομογενές μαγνητικό πεδίο έντασης Β, όπως στο σχήμα, κινούμενο με σταθερή ταχύτητα υ. Τα μέσα Κ και Λ των πλευρών ΔΓ και ΖΑ συνδέονται με ευθύγραμμο σύρμα, χωρίς αντίσταση.

i) Ποιο από τα παρακάτω διαγράμματα παριστάνει την τάση V_ΑΓ στα άκρα της πλευράς ΑΓ, σε συνάρτηση με το χρόνο, μέχρι τη στιγμή t₁ που ολοκληρώνεται η είσοδος του πλαισίου στο πεδίο;

 

ii) Ποιο από τα παρακάτω διαγράμματα παριστάνει την τάση V_ΖΔ στα άκρα της πλευράς ΔΖ, σε συνάρτηση με το χρόνο, μέχρι τη στιγμή t₁ που ολοκληρώνεται η είσοδος του πλαισίου στο πεδίο;

 

Απάντηση:

ή

 Οι τάσεις σε δύο πλευρές πλαισίου.

 Οι τάσεις σε δύο πλευρές πλαισίου.